一、总览：各考局函数基本概念考查分析

函数是A Level数学的基石，而“函数基本概念”（定义域、值域、复合函数、反函数）是后续微积分、函数变换等高级内容的前提。四大考局对此模块的考查侧重点和深度有显著差异：

核心建议：解决此类问题的关键是 “定义域优先”原则。无论是求复合函数还是反函数，第一步永远是明确或求出相关函数的定义域和值域。画出示意图（数轴或图像）是避免区间错误的有效方法。

二、多考局真题横向精讲

以下我们按考局分组，精讲2-3道典型真题。所有题目均严格遵循：英文原题 + 中文翻译 + 英文解答 + 中文点评 的格式。

CIE 真题精讲

题目1 (CIE Paper 1, Specimen)

英文原题：

The functions f and g are defined by

f(x) = 4x - 2, for x ∈ R,

g(x) = 2/(x+1), for x ∈ R, x ≠ -1.

(i) Find fg(x) and state its domain.

(ii) Find g⁻¹(x) and state its domain.

中文翻译：

函数 f 和 g 定义为：

f(x) = 4x - 2, x ∈ R,

g(x) = 2/(x+1), x ∈ R, x ≠ -1.

(i) 求复合函数 fg(x) 并说明其定义域。

(ii) 求反函数 g⁻¹(x) 并说明其定义域。

英文解答：

(i) fg(x) = f(g(x)) = 4(2/(x+1)) - 2 = 8/(x+1) - 2.

The domain of g is x ∈ R, x ≠ -1. The range of g is g(x) ∈ R, g(x) ≠ 0 (since 2/(x+1) can never be zero). This range is valid input for f (domain all real numbers). Therefore, the domain of fg is the same as the domain of g: x ∈ R, x ≠ -1.

(ii) Let y = g(x) = 2/(x+1), y ≠ 0.

Swap x and y: x = 2/(y+1).

Solve for y: x(y+1) = 2 ⇒ xy + x = 2 ⇒ xy = 2 - x ⇒ y = (2-x)/x.

Thus, g⁻¹(x) = (2-x)/x.

The domain of g⁻¹ is the range of g, which is x ∈ R, x ≠ 0.

中文点评：

- (i) 复合函数定义域：经典的两步法。1. 内层函数 g 的定义域是 x ≠ -1。2. 内层函数 g 的值域是 y ≠ 0，这恰好包含在 f 的定义域（全体实数）内，因此最终定义域仍为 x ≠ -1。若 f 的定义域有额外限制（如含根号），则需用 g 的值域去匹配。

- (ii) 反函数：求反函数标准步骤：设 y = g(x) → 交换 x, y → 解出 y。最关键的一步是声明反函数的定义域等于原函数的值域 (x ≠ 0)，许多学生求出表达式后忘记这一步。

题目2 (CIE Paper 1, Past Paper)

英文原题：

The function f is defined by f(x) = √(4x+1), for x ≥ -1/4.

The function g is defined by g(x) = x/(x-2), for x ∈ R, x ≠ 2.

(i) Find the range of f.

(ii) Explain why the composite function gf cannot be formed.

中文翻译：

函数 f 定义为 f(x) = √(4x+1)，其中 x ≥ -1/4。

函数 g 定义为 g(x) = x/(x-2)，其中 x ∈ R, x ≠ 2。

(i) 求 f 的值域。

(ii) 解释为什么复合函数 gf 不能形成。

英文解答：

(i) As x ≥ -1/4, 4x+1 ≥ 0. So f(x) = √(4x+1) ≥ 0. When x = -1/4, f = 0; as x → ∞, f → ∞. Hence the range of f is f(x) ≥ 0.

(ii) To form gf(x) = g(f(x)), the range of f must be a subset of the domain of g.

The range of f is [0, ∞).

The domain of g is { x ∈ R | x ≠ 2 }.

Since the number 2 is within the range of f (e.g., when 4x+1=4 ⇒ x=3/4, f=2), the range of f is not contained in the domain of g. Therefore, gf cannot be formed for all x in the domain of f.

中文点评：

- (i) 根式函数值域：从定义域 x ≥ -1/4 出发，得到根号内的表达式 ≥ 0，因此函数值从 0 开始趋向无穷大。注意包含端点 0。

- (ii) 复合函数存在条件：这是CIE考官报告反复强调的难点。复合函数 gf 存在的充分必要条件是：内层函数 f 的值域必须包含于外层函数 g 的定义域。本题中，f 的值域包含数字 2，而 2 不在 g 的定义域内，因此复合函数无法对全体定义域成立。即使对部分 x 可以计算，但从函数整体定义角度，gf 不成立。