二次函数真题精讲
（四大考局横向对比）

总览

二次函数是A Level基础数学AS阶段的核心内容，四大考局在P1/Pure 1中几乎必考。下表总结了各考局近3年对二次函数的考查频率与典型分值：

本周三我们精选各考局最新真题（或官方样题改编），重点训练三大能力：配方求顶点、利用判别式求参数范围、实际情境中的最值问题。

一、CIE

题目 1：配方求顶点与值域

试卷编号：CIE 9709/12/M/J/23 (改编)

英文原题（题干摘要）
The function f is defined by f(x) = 3x² - 12x + 5 for x ∈ ℝ.
(a) Express f(x) in the form a(x-h)² + k.
(b) Write down the coordinates of the vertex of the curve y = f(x).
(c) State the range of f.

中文翻译
函数 f 定义为 f(x) = 3x² - 12x + 5，其中 x ∈ ℝ。
(a) 将 f(x) 表示为 a(x-h)² + k 的形式。
(b) 写出曲线 y = f(x) 的顶点坐标。
(c) 求 f 的值域。

英文解答
(a) Factor out 3 from the first two terms: f(x) = 3(x² - 4x) + 5
Complete the square: x² - 4x = (x-2)² - 4
So f(x) = 3[(x-2)² - 4] + 5 = 3(x-2)² - 12 + 5 = 3(x-2)² - 7.
(b) Vertex: (2, -7).
(c) Since 3(x-2)² ≥ 0 for all real x, the minimum value of f is -7. Hence the range is f(x) ≥ -7.

中文点评
• 配方时先提取二次项系数3，只对 x²-4x 操作，注意常数项补偿。
• 顶点坐标从 a(x-h)²+k 直接读出：(h, k) = (2, -7)。
• 值域由开口方向（a=3>0）和最小值决定，最小值就是 k。
• 常见错误：忘记乘以提取的系数，导致顶点 y 坐标错误。

题目 2：判别式求参数范围

试卷编号：CIE 9709/11/M/J/22 (改编)

英文原题（题干摘要）
The quadratic equation 2x² + 4kx + 3k = 0 has two distinct real roots.
Find the range of values of k.

中文翻译
二次方程 2x² + 4kx + 3k = 0 有两个不同的实根。
求 k 的取值范围。

英文解答
For two distinct real roots, discriminant Δ > 0.
Δ = (4k)² - 4·2·(3k) = 16k² - 24k.
Set Δ > 0: 16k² - 24k > 0 ⇒ 8k(2k - 3) > 0.
Critical points: k = 0 and k = 1.5.
Sign analysis: k < 0 ⇒ positive; 0 < k < 1.5 ⇒ negative; k > 1.5 ⇒ positive.
Thus k < 0 or k > 1.5.

中文点评
• 判别式公式：Δ = b² - 4ac，注意 b = 4k，c = 3k。
• 得到二次不等式后，先求根，再用数轴或符号表确定范围。
• 常见错误：忘记“两个不同实根”要求 Δ > 0（不是 ≥ 0）；不等号方向弄反。
• 答案也可写作 (-∞, 0) ∪ (1.5, ∞)。

二、Edexcel

题目 1：实际最值问题（利润）

试卷编号：Edexcel Pure 1 SAM (改编)

英文原题（题干摘要）
A company finds that the profit P (in £1000) from selling x thousand units of a product is given by P(x) = -2x² + 80x - 300, where 5 ≤ x ≤ 30.
Find the maximum profit and the number of units that should be sold to achieve it.

中文翻译
某公司发现，销售 x（千件）产品所获得的利润 P（单位：千英镑）由下式给出：P(x) = -2x² + 80x - 300，其中 5 ≤ x ≤ 30。
求最大利润及达到最大利润时应销售的产品数量。

英文解答
a = -2 < 0, vertex gives maximum.
Complete the square: P(x) = -2(x² - 40x) - 300 = -2[(x-20)² - 400] - 300 = -2(x-20)² + 800 - 300 = -2(x-20)² + 500.
Vertex at x = 20 (within domain).
Maximum profit = 500 (thousand £) = £500,000, when x = 20 thousand units.

中文点评
• 实际应用题优先考虑顶点是否在定义域内。此处 x=20 在 [5,30] 内，直接取顶点。
• 利润单位转换：500（千英镑）= 500,000 英镑。
• 常见错误：未检查顶点是否在定义域内；直接将端点代入求最值（当顶点在区间外时才需如此）。

题目 2：判别式与直线交点

试卷编号：Edexcel Pure 1 2019 (改编)

英文原题（题干摘要）
Find the values of m for which the line y = mx + 3 is tangent to the curve y = x² - 4x + 5.

中文翻译
求 m 的值，使得直线 y = mx + 3 与曲线 y = x² - 4x + 5 相切。

英文解答
Set equations equal: mx + 3 = x² - 4x + 5
Rearrange: x² - (4+m)x + 2 = 0.
For tangency, Δ = 0: (4+m)² - 8 = 0 ⇒ (4+m)² = 8 ⇒ 4+m = ±2√2 ⇒ m = -4 ± 2√2.

中文点评
• 相切条件：联立方程后二次方程有重根，即 Δ = 0。
• 注意整理方程时合并同类项，不要漏掉常数项。
• 结果保留根号形式，Edexcel 一般不要求近似小数。

三、AQA

题目 1：含参数二次函数的判别式讨论

试卷编号：AQA Pure 1 2021 (改编)

英文原题（题干摘要）
The quadratic x² + 2kx + (k+2) = 0 has no real roots.
Find the range of possible values of k.

中文翻译
二次方程 x² + 2kx + (k+2) = 0 无实根。
求 k 的取值范围。

英文解答
No real roots ⇒ Δ < 0.
Δ = (2k)² - 4·1·(k+2) = 4k² - 4k - 8 = 4(k² - k - 2).
Set Δ < 0: k² - k - 2 < 0 ⇒ (k-2)(k+1) < 0 ⇒ -1 < k < 2.

中文点评
• 先计算判别式并因式分解，注意提取公因数4不影响不等式方向。
• 解二次不等式时，可以画出开口向上的抛物线草图，小于0的部分在两根之间。
• 常见错误：混淆“无实根”和“有实根”的不等号方向。