指数与对数：定义、图像、运算法则
（含四大考局差异对比）

指数函数和对数函数是A Level纯数中连接代数与实际建模的桥梁，在增长衰减、利率计算、数据变换中无处不在。本周一我们系统梳理指数与对数的核心概念，并详细对比CIE、Edexcel、AQA、OCR四大考局在考查方式上的差异。

一、通用核心概念

1. 指数函数（Exponential Function）

定义：f(x) = aˣ，其中 a > 0 且 a ≠ 1，定义域为 ℝ，值域为 (0, +∞)。

图像特征
• a > 1：递增，过点 (0,1)，x→ -∞ 时 y→0⁺；
• 0 < a < 1：递减，过点 (0,1)，x→ +∞ 时 y→0⁺。
• 渐近线：x-轴（y=0）。

常用指数运算法则
① aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ ② aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ ③ (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ ④ a⁰ = 1

2. 对数函数（Logarithmic Function）

定义：若 aˣ = N（a>0, a≠1, N>0），则 x = logₐ N。对数函数 y = logₐ x 是指数函数 y = aˣ 的反函数，定义域为 (0, +∞)，值域为 ℝ。

图像特征
• a > 1：递增，过点 (1,0)，y-轴（x=0）为渐近线；
• 0 < a < 1：递减，过点 (1,0)，y-轴为渐近线。

常用对数运算法则
① logₐ(MN) = logₐ M + logₐ N
② logₐ(M/N) = logₐ M - logₐ N
③ logₐ(Mᵏ) = k·logₐ M
④ 换底公式：logₐ b = (logₑ b)/(logₑ a)

3. 常用对数与自然对数

常用对数（common logarithm）：底数为 10，记作 lg x 或 log x。
自然对数（natural logarithm）：底数为 e（e ≈ 2.71828…），记作 ln x。

二、四大考局差异对比