牛津AQA IGCSE 数学备考指南：数与式部分

各英国考试局的夏季考试在即，本系列文章将以牛津AQA为主，教材主要选用oxford university press的oxfordAQA International GCSE MATHEMATICS Extended为主， 分四部分(数与式、几何、统计与概率、函数)总结相关术语和知识点。这篇文章为Xoford AQA IGCSE Mathmatics Extended 9260E考试的第4篇，也是最后一篇，主要内容为数与代数。

如果同学们能将此内容复习掌握，加上后续的大纲对比和模拟练习及中考知识体系对比，定能考到一个很好的分数。

整个的初等数学，数学需要跨越三个思维层级，即量化思维和变量思维，关系思维，前两个是初中结束后需要完成的，也是数学其它各模块的基石，分别由数和式做代表，整好是两个对称的镜像，是数学的数量模型和代数模型工具. 学生在高中的第三个思维跃升或高中以上阶段数学学习中遇到的瓶颈，基本都与此部分内容掌握的不牢固有关，希望同学们加以格外的重视。 最后的关系思维，函数为代表，可以认为是整个高中阶段的核心，且可以称作近代数学的基石，在哲学上可以认为是，从原子观念(研究一个个集合中的个体)到整体观念(研究集合间的关系)的转折点。函数是关系的研究，也是现代机器的抽象，是中学阶段数学概念系统的最后一次升级(前两次为小学阶段的实物到数字，初中低年级的数字到字母)。而在整个的数学教学体系中，提倡尽早的用大量抽象记号。这其中，还是需要同学们思想的转化，更重要的，对前导知识的熟练化，才能更好的掌握相关内容。

本篇接上一篇，为数与式Numbers and Expressions模块，横跨三层数学思维的前两个，即量化思维和变量思维，故而是数学其它各模块的基石，占9260E的百分之三十左右. 这个模块之最后才写完，可看出其繁杂。数和式整好是两个对称的镜像，是数学的数量模型和代数模型工具. 学生在高中或以上阶段数学学习会遇到瓶颈，基本都与此部分内容掌握的不牢固有关，希望同学们加以格外的重视。

本模块包含AQA IG 教材的Ch1.2.5.9.10.12.13.17.21共9章，其中1.5.13.17四章逐层递进的讲述了直到实数的数系发展;2.10.12三章为相对应的代数式;9.21两章其实是数学与现实的接口，度量相关的概念。思维导图如下：

1. 数系Number System

数系Number System的发展经过了漫长的岁月，大多数国家的初等数学结束于实数的完备。它主要是经过两个阶段完成的，第一个阶段叫做有理数rational number，表现形态为分数fractions，第二个阶段为实数real number，表现形态为小数decimal。要理解这个完备的意思，我们需要从系统system的角度来思考数字。即，表现形态和运算，合起来称为数系。如实数的表现形态，即小数，它是由数码digit组成，每一个数码赋予不同的位置权重place value。运算operation上，则实数能够进行加addition减substraction乘multiplication除division乘方power开方radical六则运算。除此之外，这个系统有很好的序order结构，即任意两个数之间可以比较大小。

它在现实生活中的应用，则主要体现在对现实物体进行一种准确度accuracy的测量measure，然后进行一些估算estimation，主要的形式就是四舍五入rounding来做真实数值的一种近似approximation。接下来，我们就详细的展开这个历程。

1.1 整数integer

自然数natural number刚开始时就和序关系密不可分，我们在牙牙学语时就伴随着数数，后面数的比前面的大，然后，我们就会整理这种序关系，分为六类，即小于less than，小于等于less than or equal to，大于greater than，大于等于greater than or equal to，等于equal to，不等于not equal to。这样，我们就可以用一根线作为数的可视化图景，上面分布着大小不同的数字，向右的箭头代表数增大的方向。但这个线条中，起点是0.也称为原点origin，然后一直向右延伸。

关于形式记录，经过数千年的天才的尝试，我们采用的是十进制decimal，其中的十指的是用十个数码digit，通常为0-9.来表示数字的大小值，而进指的是实行位值place value制，每个数码所在的位置不同，所代表的值(这里也可以称为单位)就不同。 接着我们自然就想向左延伸，这时候的数字仿佛有了方向，所以也称为方向数directed number，左边的我们就在数字前加一个负号minus sign，如-3.称为负数negative number，右边的加一个正号plus sign，如+2.称为正数positive number，此时的正号通常会被省略。

至此，整数扩展完毕，其运算operation方面有左右滑动的自然加减法，自加数次的乘法multiplication。其中减法division也称为加法addition的逆运算inverse operation。对于除法division，即乘法的逆运算，比较复杂，整数系统是无法自洽的进行除法运算的，因为大多数的两个整数相除以后就不再是整数了，也就是我们常说的除不尽。这个时候的除法其实是带余除法division with remainder，商quotient和余数remainder均为整数。当余数为0时，则称为整除divisible，相应的除数divisor与被除数dividend称为因数factor or divisor和倍数multiple。如果一个非0的整数只有1和它自己两个不同的因数，则称为素数prime。最有意思的就是此时可以对每一个整数进行素因数分解prime factor decomposition，即写为若干个素数的乘积形式。

这里我们需要多说几句幂运算power，它本身平平无奇，仅仅是自乘的一种简记法，即数字自己乘以自己次，记为。但是它的作用却很大，一个就是科学计数法science notation or standard (index) form，将特大数和特小数写成一个0-10的数乘以一个10的幂。还有就是算术基本定理fundamental theorem of arithmetic or unique factorisation theorem，任何一个整数都可以唯一的写成一些素数prime的幂的乘积。 至此，整数的加减乘除幂五大运算即发展完毕，运算时遵从运算顺序Order of Operations或运算优先级priority of operations为BIDMA，即括号brackets,指数indices或幂,除法division,乘法multiplication,加法addition,减法subtraction，其中的括 号为运算式辅助符号。由数字、辅助符号、运算符号组成的式子expression，如称为算术表达式arithmetic expression，得出它的最终结果值value的过程称为计算calculation。

这部分的运算经历了最长的进化史，其它的数往往通过估算estimate来化为这种数的运算。既可以快速的得出大概的结果量级，还可以用来做快速的答案检测checking answer。 在运算时，可以列式运算written method，更多的时候，可能只需要心算mental method。运算的过程中，往往有意识或无意识的运用分部partitioning或补差compensation的方法进行简便运算fast calculation。

1.2 有理数rational number

接着，随着生活应用的发展，其数系运算不自洽的情况开始越来越明显，比如除法在整数内无法进行。所以有理数则自然引入，它就是除法的记号，分子numerator除以分母denominator，除号division sign用分号fraction sign代替。从初中开始，除法要自然的用分数的表达形式，不再有小学除号的写法。另外百分数percentage只是分母为100的特殊分数，所以给了一个特殊的记号%。

我们把分数当除法运算，所以如果分子分母有共同的因数时，一般我们会找到它们的最大公因数highest common factor（HCF），约掉cancel，称为约分reduction or cancellation，约分前后的分数称为等价分数equivalent fractions，约分到分子分母不再含有公因数时就得到了最简形式Simplest form。由此开始引进小数decimal，它是10分法的自然拓展，即1的10分之一就是0.1.0.1的十分之一就是0.01.等等，由此我们会发现分数的结果都是一个特定的有限小数terminating decimal(分母的素因数含有2或5)或者无限的循环小数recurring decimal，我们也说这两种小数和分数之间可以相互转换convert。

根据分母和分子的大小关系，可以把分数分为真分数proper fraction和假分数improper fraction，我们把假分数按照带余除法把商和余数部分分开，则可化为带分数mixed number。至此，有理数的形式才算处理完毕，它是一个非常精巧的过程，其中蕴含了多个非常重要的核心数学概念，如带余除法，等价类等等，值得花时间从非常早的时期就细细品味。

运算方面则是整数的延续，加减法自然的想法是通分，即将分数化为相同的分母，即最小公分母lowest common denominator（LCM），它是两个分数分母的最小公倍数lowest common factor（LCM）(它和前面提到的最大公因数都可以用整数的素因数分解，然后借助维恩图venn diagram进行寻找)，然后进行自然加减，除法则是化为乘分数的乘法逆元，即倒数reciprocal。

1.2’ 分数的另一个形式：比、比率、比例

在这里，想用多一点篇幅着重介绍下比率rate,比ratio和比例或占比proportion三个概念的辨析。它是分数常见的应用形态。

比例或占比的比较好的解释是整体中的部分a part of the whole，它代表的是部分和整体的比较。而比则是部分和部分的比较。比率则是两个不同的量之间的比较。三者是有比较细致但重要的差别的，需要好好的理解和区分，这是我们在初中时代遇到的非常重要的研究数学概念的机会，可以学着去辨析清楚。它们三者的共同点是，在数的层面是，都属于分数，差别仅在于在量的层面上。另外，有一些特殊的术语经常使用，如比例尺scale，它是前项antecedent(分子) 是1的特殊比a ratio in the form 。而此时的后项consequent(分母)则称为比例因子scale factor，最后按照一定的比例尺作出的图形figure或地图map就叫比例图scale diagram or drawing。

单位之间的转换converting between units、比较comparison，比例尺scaling，混合问题和浓度问题mixing and concentration problems都是典型的比问题。

最后我们还有一个跟比相关的重要的问题，即变化率percentage change或变化百分比percentage change问题，这可以认为是代数思维向关系思维转化的前站，也是中间环节，所以对于这个时期的学生来说掌握起来有困难。

首先是变化百分比，它的含义为变化量与原始量的比，注意这里的变化量可以为正也可以为负，这时我们分别称之为增长百分比或percentage increase和降低百分比percentage decrease。还有一种描述方式，用到增长和下降growth and decay，增长了increase by或下降了decrease by多少，也是变化百分比，它还有个更通俗的名字，即增长率或下降率。

在处理增长率、下降率或变化率问题的时候，一定要习惯性或者条件反射的用乘数multiplier来思考，也就是，其中终值，为变化率，为初始值Initial value。如果每次的变化率相同，变化次的话，就可以用下面的表达式表示。这其实就已经到了关系的范畴，即比例关系proportionality。也就是以上的相同变化率模型或单利simple inteset模型表示的是最终的值与变化次数成正比关系direct proportion, is proprotional to ， 其中的 称为比例常数constant of proportionality。另一方面，如果直到初始值，最终值，我们就可以用表达式表示和的关系，称与成反比例inverse proportion关系， is inversely proportional to 。以上正比例或反比例关系中，每取一个值，都得出另一个量的值，这些值对paired numbers就可以在平面直角坐标系coordinate system中描出点point，并连成平滑曲线smooth curve，正比例关系描出的曲线就叫直线straight line，后者叫倒数曲线reciprocal curve。后者也是现实生活中经常碰到所谓的逆百分比问题reverse percentage problems或原值问题original value problems，即知道变化了一个百分比后的值，求原来的值。就拿最常见的利息interest,或更简单的单利问题来说吧。知道本金和利率求利息或者资金总额就是正向问题，而知道资金总额度和本金，求利率就是逆百分比问题。

那如果是复利compound interest怎么办呢?所谓复利效应之所以强大，数学就能说明白了。假如本金还是, 每期的利率还是，那么第一期过后能拿到的资金就是简单的，和单利时没有区别。但差别在第二期显现，单利的每期利润都相同，因为默认本金永远是I，但复利不同，本金就是一期过后的总资金，所以重复repeat了期时，则通过迭代iterative process，最后的资金额将为。注意，这里的术语是用的投资，但是可以代表很多模型，比如买了一辆车，每隔一段时间价值就按相同的比率减少，也是同样的模型，只不过这里的将为负值。同样为负值的还有放射性物质的衰减问题。这些就是所谓的指数增长或递减Exponential growth/decay模型。它对应的是后面的指数函数exponential function。

另外，以上所有涉及比率、比和比例的问题，都应该能转化成分数或小数问题熟练表示和解决。

1.3 实数real number

现在，终于来到了最后一步，实数real number。一般的引入方式是用幂运算的某种反运算，即开根root运算。比如平方根square root或立方根cube root，指的是一个数的平方或立方为，则称为的平方根或立方根。注意，一个正数的平方根有两个，即正负平方根。依次类推，我们还可以定义更一般的次方根,读者应该可以自己轻易的完成定义。

根据定义，我们可以对整数进行素因子分解后进行开根运算，这个过程也称为根式radical的化简simplify，不能完全开根的根式则称为无理根surd，并称带有根号radical sign的表达形式为根式表达surd form。若加上如下规定： 记为(即分数指数fractional index形式), 记为(即负指数negative index形式)，统称为有理指数rational index形式，它和所有正整数指数的运算法则完全相容，则至此所有根式有了指数形式index form表达，这也是后续学习过程中主要的表达方式，所以一定要尽早熟练掌握。

但是由此引入的无理数仅是所有无理数的冰山一角，只是所谓的代数数algebraic number,即这个数是某个整系数多项式的根。而大量的如，之类的超越数transcendental number(即非代数数)则须有其他高等数学概念如极限limit给出，这在后文会有所提及。

至此，我们的实数拓展终于差不多告一段落。形式多样，运算齐备，也终于填充满了整个可视化的直线。但这也给运算造成了一定的麻烦，对于根式的运算，我们可以通过化简、分母有理化rationalise denominator等方式给出相应的运算结果，但包含超越数的算术式则和代数式运算无异，这称为无理数运算的精确结果exact answer。为了对运算结果有个相对精确地表达，运算上比较常用的是实数小数化思想，即小数近似decimal approximation的近似值approximate value，一般根据四舍五入rounding，采用两种近似描述方法，根据适当的精度degree of accuracy要求，一个是近似到某个小数位decimal place，或者近似到几个有效数字significant figure。而后，按照小数运算实施即可。此时，我们还应该能够用不等式去描述因为截断或上述近似而产生的误差区间use inequality notation to specify simple error intervals due to truncation or rounding。

2 测量与精度measures and accuracy

数系是来源于生活实践，当然也应用于生活实践。它和现实的物理底层沟通的桥梁就是测量或测度measure，当然测量就会有各种指标，测的准不准确啊，精不精确啊等等，这些有专门的学科去研究。最重要的测量对象一般称为量quantity，它们的测量结果为数量amount加单位unit。如比较常见的物体的长度length、质量mass,时间time，货币money等等，它们的标准单位standard unit分别为米meter，克gram和秒second等等。由它们可以计算出其他量，称为复合测度compound measure，结果由数量和复合单位compound unit组成，如面积area，体积或容积capacity，速度speed和密度density，工资率rates of pay, 增值税税率VAT(value added tax) rate，单位定价unit pricing，密度density，压强pressure，流速rate of flow等等。这时候所涉及的数字多为小数，所以运算时计算器方法Calculator methods使用较多，主要用科学计算器scientific calculator。

测量里最重要的就是准确度accuracy，它取决于我们用于测量的工具的最小单位，读值减加最小单位的一半分别称为测量值的下界lower bound和上界upper bound，从下界到上界的区间称为误差区间error interval。

3.代数algebra

接下来是与数系组成镜像的代数模块，有多少数系就有多少代数表达式algebraic expression，因为代数表达式仅仅是把算术表达式里的数用字母表示而已，只包含加减乘幂四个运算，则为多项式polynomial，包含除法则为分式fraction，包含开根则为根式radical。我们再把代数表达式中的字母代入某个数字replacing a letter with a numerical value,则得到一个可以求值的算术表达式，我们称这个过程为代入求值substituting。这个简单的替换思想意义深远，因为字母的含义的模糊性，它可以指代数，也可以指代其他度量的数学量，甚至是一个结构或更加宏大的概念。另外需要注意的是，方程及不等式equations and inequalities也由代数式及其运算能完全解决，所以可归为代数理论。但是它也可以由更漂亮的函数理论解决，这在后面会详述。

3.1多项式polynomial or integer expression

第一个重要的代数表达式为多项式，它为若干个单项式monomial的和，其中的每一个单项式称为多项式的一项term。而单项式则为一个数字和若干字母表示的变量variable or unknown number or letter的乘积，这里的数字就称为这个单项式的系数coefficient，相乘的字母的个数，称为次数order。多个相同字母相乘我们用指数形式表达，如,即字母为底base的幂power形式，然后根据每项的次数从小往大排列的形式称为多项式的标准形式standard form，此时的第一项就称为首项leading term，最后一项的次数则称为多项式的次数。

自此，多项式的定义和表达形式已经确定，关于运算，则和整数运算几乎相当，我们可以通过合并同类项collecting like terms进行多项式的加减法运算，通过指数运算法则index law进行单项式之间的乘法运算，再通过乘法对加法的分配率distributive law进行多项式和多项式乘法运算，这也称为多项式的展开expanding。同样，我们也可以进行多项式的“素因子”分解prime factorising，通过提最大公因式largest common factor，公式formula，十字相乘法trinomials method，分组grouping的方法和步骤来进行。特别注意我们这里的“素因子”是带引号的，因为这里对“素”的定义就比较的复杂，也更加的有趣。有兴趣的同学可以继续探索。另外对于素、因式等英文表达跟整数相关的一样，注意区分。

3.2 分式algebraic fractions和根式radical

接下来就是仿照数系的发展自然的过度就好，两个多项式相除，除号用分号代替，则形成分式，其中分子、分母、分式的英文表达都和分数相关的一致，有些书为了区分，将分式写为algebraic fraction，但常常省略。代数根式相关的一样，和根式没有区别，且运算的种类也一致，这里不再赘述，读者应该试着自己整理。

3.3 方程与不等式 equations and inequalities

方程论其实非常的丰富，但是它完全可以通过代数式来阐释清楚。首先，称为方程或不等式的标准形式standard form，其中的为代数表达式，为等于或几种不等符号，而名字则以代数表达式命名，如多项式方程polynomial equation，一次方程linear equation，二次方程quadratic equation，分式不等式fraction inequalities，根式方程radical equation等等。使得这个标准式成立的所有数字组成的集合称为这个方程或不等式的解集set of solution，求出解集的过程叫做解方程或不等式。我们解方程和不等式的总原则或方法是，通过逆运算，将未知量解放出来，这个方法也称为代数法algebraic method。往往会通过去分式remove or clearing fraction，去括号expand brackets等方法化成多项式相关的方程或不等式，最后通过合并同类项，因式分解factorising，配方completing the square，移向rearrange等方法或步骤化为一次方程或不等式自然解决。

另外，多元多次方程或不等式组simultaneous equations or inequalities我们则可以用加减消元elimination和代入法substitution两个方法化为上述单个的方程或不等式。

但值得注意的是，除了代数法，我们还可以由几何法geometric method来解决以上问题，这时候往往是通过相关函数的图像graph来确定解的情况，需要根据实际问题注意实线solid line，虚线dashed line，端点end point，区域region等的表示。这时候就用到函数的思想，我们后面再谈。

最后，我们还有一些数值方法或近似方法numerical method or approximate method，如二分法bracketing the solution, 各种迭代法iteration等等，来处理比较复杂的方程和不等式(组)。